已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，a1=1，前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2），試用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列{an}的通項公式．
考點：數(shù)學(xué)歸納法
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：由已知可得，Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2），結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求sn，進(jìn)而可求an．然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．
解答： 解：∵an=Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
，
∴Sn-Sn-1=（
Sn
+
Sn-1
）（
Sn
-
Sn-1
）=
Sn
+
Sn-1
．
∴
Sn
-
Sn-1
=1，
∴數(shù)列{
Sn
}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴
Sn
=n，
∴sn=n2，∴an=
Sn
+
Sn-1
=n+n-1=2n-1（n≥2）
當(dāng)n=1時，a1=1也適合，
∴an=2n-1．
用數(shù)學(xué)歸納法證：
①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即ak=2k-1.
Sk
=k，
則當(dāng)n=k+1時，ak+1=
Sk+1
+
Sk
=
k2+ak+1
+k，解得ak+1=2k+1，
故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有an=n+1成立．
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項公式．?dāng)?shù)學(xué)歸納法z的證明步驟，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第（2）問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n0）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則此三棱錐的體積等于（　�。�
A、
2
3
B、
3
3
C、
2
2
3
D、
2
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，a1=29，S10=S20，
（1）問這個數(shù)列的前多少項和最大？并求此最大值．
（2）求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為
1
ρ2
=
cos2θ
4
+sin2θ．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；
（2）已知曲線C上兩點A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
π
2
）（θ∈[0，π]），求△AOB面積的最小值及此時θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC1的中點，E為底面一邊A1B1的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥DF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-ABD的體積，并求直線A1B1到與它平行的平面DAB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+2n+2；
（1）求a2，a3的值并證明數(shù)列{
an
2n
}為等差數(shù)列；
（2）bn=（-1）n+1
an
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，求T51及Tn；
（3）令Cn=|
1
bnbn+1
|，Mn=C1+C2+…+Cn，求Mn的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且2an是Sn+1與-2的等差中項，a1=1，
（1）設(shè)bn=an+1-2an（n=1，2，…），求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項式；
（3）求數(shù)列{an}的前n項和公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了調(diào)查某廠數(shù)萬名工人獨立生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了m位工人某天獨立生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），頻率分布直方圖如圖所示，已知獨立生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量在[20，25）之間的工人有6位．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）工廠規(guī)定：若獨立生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量當(dāng)日不小于25，則該工人當(dāng)選“生產(chǎn)之星”，若將這天獨立生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的頻率視為概率，隨機從全廠工人中抽取3人，這3人中當(dāng)日“生產(chǎn)之星”人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在這雙曲線上，且PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為
 
．

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