Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意b∈R，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解方程f（x）=0得出f（x）的零點(diǎn)；
（2）令△＞0得出關(guān)于b的不等式b²-4ab+4a＞0恒成立，再令判別式△′＜0解出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x²-2x-3．
令f（x）=0，得x=3或x=-1．
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為3和-1．
（2）方程ax²+bx+b-1=0有兩個(gè)不同實(shí)根．
∴△=b²-4a（b-1）＞0．
即對(duì)于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立．
∴16a²-16a＜0，即a²-a＜0，解得0＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．