Question

2．已知變換T把平面上的點(diǎn)A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）分別變換成點(diǎn)A'（2，2），B'（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
（1）試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M；
（2）若曲線(xiàn)C在變換T的作用下所得到的曲線(xiàn)的方程為x²-y²=4，求曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出所求矩陣，利用待定系數(shù)法建立一個(gè)四元一次方程組，解方程組即可；
（2）先設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C上的任一點(diǎn)，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩陣T對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換求出P與P₁的關(guān)系，代入已知曲線(xiàn)求出所求曲線(xiàn)即可．

解答 解：（1）設(shè)矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&6oiuajk\end{array}]$，根據(jù)題意得$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&j1p7aax\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，
A（2，0），變換為A'（2，2），得：a=1，c=1，
B（0，$\sqrt{3}$）變換為B'（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），得：b=-1，d=1，
∴矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}]$；
（2）變換T所對(duì)應(yīng)關(guān)系$\left\{\begin{array}{l}{x′=x-y}\\{y′=x+y}\end{array}\right.$，
代入x²-y²=4，得：xy=-1，
若曲線(xiàn)C：xy=-1，在變換T的作用下所得到的曲線(xiàn)的方程為x²-y²=4，
曲線(xiàn)C的方程xy=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查來(lái)了逆矩陣與投影變換，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．