Question

20．在四面體ABCD中，若AB=CD=$\sqrt{3}$，AC=BD=2，AD=BC=$\sqrt{5}$，則直線AB與CD所成角的余弦值為（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，構(gòu)造長方體，求出長方體的長、寬、高，EF∥AB，∠FOC為直線AB與CD所成角，利用余弦定理可得結(jié)論．

解答 解：如圖所示，構(gòu)造長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=3}\\{^{2}+{c}^{2}=4}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即CE=1，CF=$\sqrt{2}$，F(xiàn)B=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，
∴∠FOC為直線AB與CD所成角，
△OCF中，OC=OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CF=$\sqrt{2}$，∴cos∠FOC=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角，考查余弦定理的運(yùn)用，正確構(gòu)造長方體是關(guān)鍵．