Question

2．已知O為坐標(biāo)原點，向量$\overrightarrow{OA}=（{sinα，1}），\overrightarrow{OB}=（{cosα，0}），\overrightarrow{OC}=（{-sinα，2}）$，點P滿足$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$
（1）記函數(shù)$f（α）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}，α∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$，討論函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）可求出$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，并設(shè)$\overrightarrow{OP}=（x，y）$，從而寫出$\overrightarrow{BP}$的坐標(biāo)，這樣根據(jù)條件$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$即可求出x，y，從而求出$\overrightarrow{PB}=（sinα-cosα，1）$，并且$\overrightarrow{CA}=（2sinα，-1）$，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，并根據(jù)二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式得出$f（α）=-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$，根據(jù)α的范圍可求出$2α+\frac{π}{4}$的范圍，進(jìn)而判斷出f（α）的單調(diào)性，并求出其值域；
（2）可寫出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，根據(jù)O，P，C三點共線便可得出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)關(guān)系，從而得出$sinα=\frac{4}{3}cosα$，進(jìn)而求出$co{s}^{2}α=\frac{9}{25}$，可求出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（sinα+cosα，1）$，從而$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+1}$，這樣便可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（cosα-sinα，-1）$，設(shè)$\overrightarrow{OP}=（x，y）$，則$\overrightarrow{BP}=（x-cosα，y）$；
∴由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$得，$\left\{\begin{array}{l}{cosα-sinα=x-cosα}\\{-1=y}\end{array}\right.$；
∴x=2cosα-sinα，y=-1；
∴$\overrightarrow{PB}=（sinα-cosα，1）$，$\overrightarrow{CA}=（2sinα，-1）$；
∴$f（α）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}$
=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=-（sin2α+cos2α）
=$-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$；
∵$α∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，∴$0＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$；
∴當(dāng)$0＜2α+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{8}＜α≤\frac{π}{8}$時，f（α）單調(diào)遞減；
當(dāng)$\frac{π}{2}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，即$\frac{π}{8}＜α＜\frac{π}{2}$時，f（α）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$；
∵$sin（2α+\frac{π}{4}）∈（-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$；
∴f（α）的值域為$[-\sqrt{2}，1）$；
（2）$\overrightarrow{OP}=（2cosα-sinα，-1）$，$\overrightarrow{OC}=（-sinα，2）$；
∴由O，P，C三點共線得，（2cosα-sinα）•2-（-sinα）•（-1）=0；
∴$sinα=\frac{4}{3}cosα$，帶入sin²α+cos²α=1得：
$co{s}^{2}α=\frac{9}{25}$；
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+1}$
=$\sqrt{2+2sinαcosα}$
=$\sqrt{2+\frac{8}{3}co{s}^{2}α}$
=$\sqrt{2+\frac{24}{25}}$
=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

點評 本題考查向量減法的幾何意義，以及向量坐標(biāo)的加法和減法運算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，不等式的性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，熟悉正弦函數(shù)的圖象，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，根據(jù)$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}}$求向量長度的方法．