Question

1．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 4030
• D． 1008

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=2，
故設(shè)g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=m，
則g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）+…+g（$\frac{1}{2016}$）=m，
兩式相加得2×2015=2m，
則m=2015．
故選：B．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．