Question

5．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線上一點A到雙曲線的右焦點F的距離等于2，拋物線y²=2px（p＞0）過點A，則該拋物線的方程為（　　）

• A． y²=9x
• B． y²=4x
• C． y²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x
• D． y²=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$x

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x，F(xiàn)點坐標為（$\sqrt{13}$，0），利用|AF|=2，求出A的坐標，代入y²=2px，求出p，即可求出拋物線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x，F(xiàn)點坐標為（$\sqrt{13}$，0），
設(shè)A點橫坐標為x，則y=±$\frac{2}{3}$x，
由|AF|=2得$\sqrt{（x-\sqrt{13}）^{2}+（±\frac{2}{3}x）^{2}}$=2
∴x=$\frac{9}{\sqrt{13}}$
∴y=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$，代入y²=2px得p=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，所以，y²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x，
故選：C．

點評 本題考查拋物線方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，求出A的坐標是關(guān)鍵．