Question

20．如圖，已知雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線(xiàn)C的某漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)P、Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{39}}{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)椤螾AQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP為等邊三角形，
設(shè)AQ=2R，則OP=R，
漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），取PQ的中點(diǎn)M，則AM=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（3R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•3R•2R}$=$\frac{1}{2}$，所以7R²=a²②
①②結(jié)合c²=a²+b²，可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查余弦定理、勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．