Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|（0＜x≤3）}\\{f（x-3）（3＜x≤6）}\end{array}\right.$ 若函數(shù)g（x）=f（x）-ax有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{ln3}{6}$]∪[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{ln3}{6}$]
• C． （0，e）
• D． [$\frac{ln3}{6}$，e）

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出當(dāng)直線y=ax與f（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率范圍即可．

解答 解：令g（x）=0得f（x）=ax，
作出f（x）在（0，6]上的函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)y=k₁x與f（x）在區(qū)間[1，3]上的函數(shù)圖象
相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={k}_{1}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，k₁=$\frac{1}{e}$．
設(shè)直線y=k₂x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，ln3），則k₂=$\frac{ln3}{3}$．
∴當(dāng)$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，直線y=ax與f（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)y=k₃x與f（x）在區(qū)間[4，6]上的函數(shù)圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{3}=\frac{1}{{x}_{1}-3}}\\{{y}_{1}={k}_{3}{x}_{1}}\\{{y}_{1}=ln（{x}_{1}-3）}\end{array}\right.$，方程在（4，6）上無(wú)解，
設(shè)y=k₄x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，ln3），則k₄=$\frac{ln3}{6}$．
∴0＜a≤$\frac{ln3}{6}$時(shí)，直線y=ax與f（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．
∴當(dāng)函數(shù)g（x）=f（x）-ax有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是（0，$\frac{ln3}{6}$]∪[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．