Question

2．如圖所示，某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中AE=30米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行．從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓．為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過(guò)2.5米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角θ滿足$tanθ=\frac{3}{4}$．
（1）若設(shè)計(jì)AB=18米，AD=6米，問(wèn)能否保證上述采光要求？
（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中π取3）

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+b$，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出結(jié)論；
（2）欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，即可求出截面面積最大

解答 解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）因?yàn)锳B=18，AD=6，所以半圓的圓心為H（9，6），
半徑r=9．設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+b$，
即3x+4y-4b=0，…（2分）
則由$\frac{|27+24-4b|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=9$，
解得b=24或$b=\frac{3}{2}$（舍）．
故太陽(yáng)光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+24$，…（5分）
令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．
所以此時(shí)能保證上述采光要求…（7分）
（2）設(shè)AD=h米，AB=2r米，則半圓的圓心為H（r，h），半徑為r．
欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，則此時(shí)點(diǎn)G為（30，2.5），
設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l₁，則l₁所在直線方程為y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$（x-30），
即3x+4y-100=0…（10分）
由直線l₁與半圓H相切，得$r=\frac{|3r+4h-100|}{5}$．
而點(diǎn)H（r，h）在直線l₁的下方，則3r+4h-100＜0，
即$r=-\frac{3r+4h-100}{5}$，從而h=25-2r…（13分）
又$S=2rh+\frac{1}{2}π{r^2}=2r（25-2r）+\frac{3}{2}×{r^2}$=$-\frac{5}{2}{r^2}+50r=-\frac{5}{2}{（r-10）^2}+250≤250$．
當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào)．
所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．