5．已知函數(shù)f（x）=x3-ax．
（1）求證：當(dāng)1＜a＜4時(shí)，方程f（x）=0在（1，2）內(nèi)有根；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

分析 （1）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理直接判斷即可，即只需說(shuō)明f（1）f（2）＜0；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，然后分離參數(shù)a，求出函數(shù)的最值即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）顯然函數(shù)f（x）在（1，2）上連續(xù)，而1＜a＜4，所以1-a＜0，4-a＞0．
所以f（1）f（2）=（1-a）（8-2a）=2（1-a）（4-a）＜0，
所以方程f（x）=0在（1，2）內(nèi)有根．
（2）由題意f′（x）=3x2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，
易知y=3x2在[1，+∞）上遞增，所以ymin=3×12=3，
故所求a的范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)判斷的方法以及已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問(wèn)題，主要是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

9．在數(shù)列{an}中，$\frac{1}{（2-1）{a}_{1}}$+$\frac{1}{（{2}^{2}-1）{a}_{2}}$…+$\frac{1}{（{2}^{n}-1）{a}_{n}}$=2n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號(hào)電視機(jī)在10個(gè)賣場(chǎng)的銷售量（單位：臺(tái)），并根據(jù)這10個(gè)賣場(chǎng)的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖．為了鼓勵(lì)賣場(chǎng)，在同型號(hào)電視機(jī)的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場(chǎng)命名為該型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”．
（Ⅰ）求在這10個(gè)賣場(chǎng)中，甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若在這10個(gè)賣場(chǎng)中，乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的平均數(shù)為26.7，求a＞b的概率；
（Ⅲ）若a=1，記乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的方差為s2，根據(jù)莖葉圖推斷b為何值時(shí)，s2達(dá)到最小值．（只需寫(xiě)出結(jié)論）
（注：方差${s^2}=\frac{1}{n}[{（{x_1}-\overline x）^2}+{（{x_2}-\overline x）^2}+…+{（{x_n}-\overline x）^2}]$，其中$\overline x$為x1，x2，…，xn的平均數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．在數(shù)列{an}中，a1=3，若函數(shù)y=3x-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（an+1，an）
（1）求證：數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{2}$，又M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求該橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），記點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為f（r）給出以下四個(gè)命題：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π
②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$π
③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
④函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)
其中為真命題的是①④（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，-5）且與直線l：x-2y+4=0相切于點(diǎn)B（-2，1）的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=$\frac{π}{3}$．若O為AD的中點(diǎn)，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求證：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角D-A1A-P為$\frac{π}{6}$？若存在，求出BP的長(zhǎng)；不存在，說(shuō)明理由．

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