Question

10．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{2}$，又M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 首先，求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，借助于OM的斜率，易得a、b的兩個(gè)方程．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，得
（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$×$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+^{2}-1}}{{a}^{2}+^{2}}=1$，
∴a²b²（a²+b²-1）=（a²+b²）²，①
又M為AB的中點(diǎn)，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
y₀=1-x₀=1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\frac{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，②
根據(jù)①②，得
${a}^{2}=\frac{11}{3}$，$^{2}=\frac{11}{6}$，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{11}{6}}=1$．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，充分利用判別式和韋達(dá)定理求得問題的解決．