Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 第一個空簡單，只需將該式子平方即可；第二個空不妨建立直角坐標(biāo)系，將問題化歸為幾何問題求解，最終轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點的距離的最小值問題．

解答 解：因為|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=4．
故$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=2$．
據(jù)題意可知cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，所以$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=60°$．
據(jù)此可設(shè)$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow=（1，\sqrt{3}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
由已知得（2-x，-y）•（1-2x，$\sqrt{3}$-2y）=0．
化簡得$（x-\frac{5}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}=\frac{3}{4}$，所以（x，y）在以$（\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}）$為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓上．
而|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|表示的是點（x，y）到點（1，$\sqrt{3}$）的距離d．
所以$mu28eos_{min}=\sqrt{（1-\frac{5}{4}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)量積的計算以及向量運算的幾何意義，要注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．