Question

在直角坐標系平面上，若一個點的縱、橫坐標都是有理數(shù)，則稱它為有理點，求滿足如下條件的最小正整數(shù)k；每一個圓周上含有k個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：壓軸題,推理和證明

分析：首先證明：每一個圓周上含有3個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點，再構(gòu)造一個圓周傻瓜值含有兩個有理點的實例，C：(x-

2

)2+(y-

2

)2=6，則P₁（-1，1），P₂（1，-1）都在⊙C的圓周上，可得結(jié)論．

解答： 解：首先證明：每一個圓周上含有3個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點．
設平面上⊙C₀的圓周上含有3個有理點P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3），C₀（x₀，y₀），則
∵線段P₁P₂，P₁P₃的垂直平分線過C₀，
∴

(y2-y1)(y0- y1+y2 2 )+(x2-x1)(x0- x1+x2 2 )=0 (y3-y1)(y0- y1+y3 2 )+(x3-x1)(x0- x1+x3 2 )=0

，
∵x_i，y_i（i=1，2，3）都是有理數(shù)，
∴方程組的解（x₀，y₀）都是有理數(shù)，
設有理點P_n（x_n，y_n）的坐標為

xn=x0+an(x3-x0)-bn(y3-y0) yn=y0+bn(x3-x0)+an(y3-y0)

，
其中an=

n2-1

n2+1

，bn=

2n

n2+1

（n≥4），
則|PnC0|2=(x3-x0)2+(y3-y0)2=|P3C0|2，
∴P_n（x_n，y_n）都在⊙C₀的圓周上，即圓周上一定含有無窮多個有理點．
其次，構(gòu)造一個圓周傻瓜值含有兩個有理點的實例．
C：(x-

2

)2+(y-

2

)2=6，則P₁（-1，1），P₂（1，-1）都在⊙C的圓周上，
若圓周上含有其它有理點P₃（x₃，y₃），
則(x3-

2

)2+(y-

2

)2=6，
即x32+y32-2=2

3

（x₃+y₃），
因為左邊是有理數(shù)，

2

是無理數(shù)，
所以x₃+y₃=0，
∴x₃=1，y₃=-1或x₃=-1，y₃=1，即是P₁（-1，1），P₂（1，-1），矛盾．
綜上所述，k的最小值為3．

點評：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，證明每一個圓周上含有3個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點是關鍵．