Question

給定實(shí)數(shù)a＞1，求函數(shù)f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2，對a分1＜a≤

7

3

與a＞

7

3

討論，利用基本不等式與雙鉤函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+six

的最小值．

解答： 解：f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2．
當(dāng)1＜a≤

7

3

時，0＜

3(a-1)

≤2，
此時f（x）=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2≥2

3(a-1)

+a+2，
且當(dāng)sinx=

3(a-1)

-1∈（-1，1]）時不等式等號成立，
故f（x）_min=2

3(a-1)

+a+2；
當(dāng)a＞

7

3

時，

3(a-1)

＞2，此時“雙鉤”函數(shù)
y=t+

3(a-1)

t

在（0，

3(a-1)

]內(nèi)是遞減，
故此時f_min（x）=f（1）=2+

3(a-1)

2

+a+2=

5(a+1)

2

．
綜上所述，f_min（x）=

2 3(a-1) +a+2，1＜a≤ 7 3 5(a+1) 2 ，a＞ 7 3

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查基本不等式與雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．