Question

設P是直線y=-2上一點，過點P作拋物線x²=4y的兩條切線PA，PB和平行于y軸的直線l，切點分別為A，B，直線l與AB和拋物線分別相交于C，D，記PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
（1）若k₁+k₂=2，求點P的坐標；
（2）求證：|AC|=|BC|，且|CD|=|PD|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y′=

1

2

x，得切線PA：y=

1

2

x1x-y1，切線PB：y=

1

2

x2x-y2，設P（t，-2），得直線AB的方程為

1

2

tx-y+2=0，聯(lián)立

x2=4y 1 2 tx-y+2=0

，得x²-2tx+8=0，由此利用韋達定理能求出點P（2，-2）．
（2）聯(lián)立

x2=4y 1 2 tx-y+2=0

，得x²-2tx-8=0，x₁+x₂=2t，x₁x₂=-8，由此利用韋達定理得線段AB的中點坐標為（t，

1

2

 2t +2），把把x=t代入直線AB的方程

1

2

tx-y+2=0，得C（t，

1

2

t2+2），從而得到|AC|=|BC|，把x=t代入拋物線x²=4y，得D（t，

t2

4

），從而得到|CD|=|PD|．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵y′=

1

2

x，∴切線PA：y-y₁=

1

2

x1（x-x₁），即y=

1

2

x1x-y1，
切線PB：y-y2=

1

2

x2(x-x2)，即y=

1

2

x2x-y2，
∵PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，k₁+k₂=2，
∴

1

2

(x1+x2)=2，即x₁+x₂=4，
∵P是直線y=-2上一點，∴設P（t，-2），
則由P（t，-2）是PA和PB的交點，得

1 2 x1t-y1=-2 1 2 x2t-y2=-2

，
∴直線AB的方程為

1

2

tx-y+2=0，過定點（0，2）
聯(lián)立

x2=4y 1 2 tx-y+2=0

，得x²-2tx+8=0，
△=4t²-32＞0，解得t＞2

2

或t＜-2

2

，
x₁+x₂=2t，又x₁+x₂=4，∴2t=4，解得t=2，
∴點P（2，-2）．
（2）∵聯(lián)立

x2=4y 1 2 tx-y+2=0

，得x²-2tx-8=0，
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-8，
y₁+y₂=

x12

4

+

x22

4

=

1

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=t²+4，
∴線段AB的中點坐標為（t，

1

2

 2t +2），
∵過點P（t，-2）作平行于y軸的直線l，直線l與AB和拋物線分別相交于C，D，
把x=t代入直線AB的方程

1

2

tx-y+2=0，得y=

1

2

t2+2，
∴C（t，

1

2

t2+2），
∴C是線段AB的中點，∴|AC|=|BC|，
把x=t代入拋物線x²=4y，得y=

t2

4

，∴D（t，

t2

4

），
∴D是線段PC的中點，∴|CD|=|PD|．

點評：本題考查點的坐標的求法，考查線段相等的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義、切線方程，拋物線性質(zhì)等知識點的合理運用．