Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α為參數(shù)）和定點(diǎn)A（0，

3

），F(xiàn)₁、F₂是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線AF₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點(diǎn)，求|MF₁|-|NF₁|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）求出橢圓方程的普通方程，求出焦點(diǎn)，運(yùn)用直線方程的截距式寫出直線AF₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）運(yùn)用兩直線垂直的條件，求得直線l的斜率和傾斜角，寫出參數(shù)方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及參數(shù)的幾何意義，即可得到所求．

解答： 解：（1）曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

可化為

x2

4

+

y2

3

=1，
其軌跡為橢圓，焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
經(jīng)過A（0，

3

）和F₂（1，0）的直線方程為

x

1

+

y

3

=1，
即

3

x+y-

3

=0；
（2）由（1）知，直線AF₂的斜率為-

3

，
因?yàn)閘⊥AF₂，所以l的斜率為

3

3

，傾斜角為30°，
所以l的參數(shù)方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

 （t為參數(shù)），
代入橢圓C的方程中，得13t²-12

3

t-36=0．
因?yàn)镸，N在點(diǎn)F₁的兩側(cè)，
所以|MF₁|-|NF₁|=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的參數(shù)方程和普通方程的互化，考查橢圓的性質(zhì)和直線方程的參數(shù)式和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．