Question

設曲線y=（x-2）²（0＜x＜2）上動點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則△AOB面積的最大值為______．

Answer 1

設切點P（x₀，y₀），（0＜x₀＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切線的斜率為2（x₀-2）．
切線方程為y-(x0-2)2=2(x0-2)(x-x0)．
令y=0，解得x=

x0+2

2

．∴A(

x0+2

2

，0)．
令x=0，解得y=4-

x

20

．∴B(0，4-

x

20

)．
∴S_△AOB=

1

2

|AO||OB|=

1

2

×

|x0+2|

2

×|4-

x

20

|=

1

4

(-

x

30

-2

x

20

+4x0+8)．
令f(x0)=-

x

30

-2

x

20

+4x0+8，則f′(x0)=-3

x

20

-4x0+4=-（3x₀-2）（x₀+2）．
令f^′（x₀）=0，又0＜x₀＜2，解得x0=

2

3

．列表如下：
由表格可得到：當x=

2

3

時，f（x₀）取得極大值，也即最大值．
此時，S_△AOB取得最大值，

1

4

[-(

2

3

)3-2(

2

3

)2+4×(

2

3

)+8]=

64

27

．
故答案為

64

27

．