Question

如圖，動(dòng)圓C₁：x²+y²=t²，1＜t＜3，與橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₂分別為C₂的左，右頂點(diǎn)．橢圓C₂的一個(gè)焦點(diǎn)為（2

2

，0），離心率為

2 2

3

．
（1）求橢圓C₂的方程；   
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；
（3）求直線AA₁與直線A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件得

c=2 2 c a = 2 2 3

，由此能求出橢圓C₂的方程．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S+4|x₀y₀|，x02y02=x02(1-

x02

9

)，由此能求出矩形ABCD的面積的最大值及相應(yīng)的t的值．
（3）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），則y2=

-y02

x02-9

(x2-9)，y02=1-

x02

9

，由此能求了出M的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2

2

，0），
離心率為

2 2

3

，
∴

c=2 2 c a = 2 2 3

，解得a=3，∴b²=9-8=1，
∴橢圓C₂的方程

x2

9

+y2=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S+4|x₀y₀|，…（1分）
由

x02

9

+y02=1，得y02=1-

x02

9

，
∴x02y02=x02(1-

x02

9

)=-

1

9

（x02-

9

2

）²+

9

4

，
∴x02=

9

2

時(shí)，(x02y02)max=

9

4

，
∴Smax=4×

3

2

=6，
此時(shí)t=

x02+y02

=

x02+(1- x02 9 )

=

5

．
（3）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），
直線AA₁的方程為y=

y0

x0+3

(x+3)，①
直線A₂B的方程為y=

-y0

x0-3

(x-3)，②
由①②得y2=

-y02

x02-9

(x2-9)，③
又點(diǎn)A（x₀，y₀）在橢圓上，故y02=1-

x02

9

，④
把④代入③，得

x2

9

-y2=1，
∴M的軌跡方程為

x2

9

-y2=1，x＜-3，y＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查矩形面積的最大值的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．