Question

【題目】函數(shù)f（x）=a+ 為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）的單調(diào)性并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數(shù) 為定義在R上的奇函數(shù)．

∴f（0）=0，

即 ，解得

（2）

解：由（1）知 ，則 ，

函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，給出如下證明：

證法一：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則

= = ）

= ，

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴ ，∴ ，

又∵ ， ， ，

∴ ＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減．

證法二：∵

∴ ，

∵f′（x）＜0恒成立，

故函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減．

【解析】（1）函數(shù) 為定義在R上的奇函數(shù)．則f（0）=0，解得a的值；（2）證法一：任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2 ， 作差判斷f（x2）與f（x1）的大小，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）的單調(diào)性；
證法二：求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）的單調(diào)性．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．