Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-4a|（a＞0），若對?x∈R，都有f（2x）-1≤f（x），則實(shí)數(shù)a的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得，|2x-a|+|x-4a|≤|x-a|+|2x-4a|+1恒成立，絕對值的“根”共有4個：$\frac{a}{2}$，a，2a，4a，分類討論求得實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：f（2x）-1≤f（x）恒成立，即|2x-a|-|2x-4a|-1≤|x-a|-|x-4a|恒成立，
即|2x-a|+|x-4a|≤|x-a|+|2x-4a|+1恒成立，且a＞0．
此不等式中，絕對值的“根”共有4個：$\frac{a}{2}$，a，2a，4a．
當(dāng)x＜$\frac{a}{2}$時，不等式即 a-2x+4a-x≤a-x+4a-2x+1，即0≤1．
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤x＜a時，不等式即 2x-a+4a-x≤a-x+4a-2x+1，即2x-$\frac{1}{2}$≤a，故有2a-$\frac{1}{2}$≤a，即a≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a≤x＜2a時，不等式即 2x-a+4a-x≤x-a+4a-2x+1，即x≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)2a≤x＜4a時，不等式即 2x-a+4a-x≤x-a+2x-4a+1，即 8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤$\frac{1}{4}$．
當(dāng)x≥4a時，不等式即 2x-a+x-4a≤a-x+2x-4a+1，即0≤1．
綜上可得，0＜a≤$\frac{1}{4}$，故a的最大值為$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．