Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a}{2}$x²+bx+c，其中a＞0，曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸．
（1）若x=1為f（x）的極值點，求f（x）的解析式；
（2）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結(jié)合解決即可．

解答 解：（I）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c得：f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸，得f（0）=0，f′（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
又f′（1）=0，
所以a=-1，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²（4分）
（II）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²，f′（x）=x²-ax．
由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡得$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0，即t滿足的方程為$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0．（6分）
過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三個相異的實根，即等價于方程$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$=0有三個相異的實根．
設(shè)g（t）=$\frac{2}{3}{t}^{3}-\frac{a}{2}{t}^{2}+2$，g′（t）=2t（t-$\frac{a}{2}$），
由于a＞0，可得函數(shù)在（-∞，0），（$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減
故有要使g（t）=0有三個相異的實根，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（\frac{a}{2}）＜0}\end{array}\right.$時滿足，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＞0}\\{2-\frac{{a}^{3}}{24}＜0}\end{array}\right.$，
∴a＞$2\root{3}{6}$．
∴a的取值范圍是（$2\root{3}{6}$，+∞）（12分）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用以及數(shù)形結(jié)合的運用能力，對學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度