Question

14．用適合的方法證明下列命題：
（1）$\sqrt{b+1}-\sqrt＜\sqrt{b-1}-\sqrt{b-2}（b≥2）$
（2）若a，b為兩個不相等的正數(shù)，且a+b=2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$＞2．

Answer 1

分析 （1）運用分子有理化，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）由基本不等式可得0＜ab＜1，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：（1）由b≥2，$\sqrt{b+1}$-$\sqrt$=$\frac{1}{\sqrt{b+1}+\sqrt}$，
$\sqrt{b-1}$-$\sqrt{b-2}$=$\frac{1}{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-2}}$，
$\sqrt$＞$\sqrt{b-2}$≥0，$\sqrt{b+1}$＞$\sqrt{b-1}$＞0，
相加可得$\sqrt$+$\sqrt{b+1}$＞$\sqrt{b-1}$+$\sqrt{b-2}$＞0，
即有$\frac{1}{\sqrt{b+1}+\sqrt}$＜$\frac{1}{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-2}}$，
即有$\sqrt{b+1}-\sqrt＜\sqrt{b-1}-\sqrt{b-2}（b≥2）$；
（2）a，b為兩個不相等的正數(shù)，且a+b=2，
由a+b＞2$\sqrt{ab}$，可得0＜ab＜1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2}{ab}$＞2．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分子有理化和不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的運用，考查推理能力，屬于中檔題．