Question

已知等差數(shù)列{a_n}，前n項(xiàng)和為S_n=n²+Bn，a₇=14．
（1）求B、a_n；
（2）設(shè)c_n=n•2an，求T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1解決．具體地a₇=S₇-S₆=求出B，再應(yīng)用關(guān)系式求通項(xiàng)．
（2）由（1）c_n=n•2an=n•4ⁿ，利用錯(cuò)位相消法求和．

解答： 解：（1）∵a₇=14．即a₇=S₇-S₆=7²+7B-6²-6B=14．解得B=1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．n=1時(shí)也適合
∴a_n=2n
（2）由（1）c_n=n•2an=n•4ⁿ，
T_n=c₁+c₂+…+c_n．=1•4¹+2•4²+3•4³+…n•4ⁿ①
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，②
①-②得-3T_n=4¹+4²+4³+…4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹=-

4

3

+

1-3n

3

•4ⁿ⁺¹
∴T_n=

4

9

+

3n-1

9

•4ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng)：本題考查算了通項(xiàng)公式求解，錯(cuò)位相消法數(shù)列求和，考查數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系的應(yīng)用和計(jì)算能力．