Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過拋物線y²=16x的焦點，且與雙曲線x²-y²=2有相同的焦點．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點M（m，0）在橢圓E的長軸上，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)|

MP

|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點坐標(biāo)為（4，0），a=4，c=2，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)p（x，y）為橢圓上的動點，4≤x≤4.

MP

=(x-m，y)，當(dāng)|

MP

|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，即當(dāng)x=4時，|

MP

|2取得最小值，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）拋物線y²=16x的焦點坐標(biāo)為（4，0），
由題意知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點坐標(biāo)為（4，0），
又橢圓與雙曲線x²-y²=2有相同的焦點，
∴a=4，c=2，∴b²=16-4=12，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

16

+

y2

12

=1．（4分）
（2）設(shè)p（x，y）為橢圓上的動點，
由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴-4≤x≤4．（5分）
∵

MP

=(x-m，y)，
∴|

MP

|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12(1-

x2

16

)
=

1

4

x2-2mx+m2+12=

1

4

(x-4m)2+12-3m2．（7分）
當(dāng)|

MP

|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，
即當(dāng)x=4時，|

MP

|2取得最小值，
而x∈[-4，4]，∴4m≥4，m≥1．（10分）
又點M在橢圓E的長軸上，∴-4≤m≤4．
∴實數(shù)m的取值范圍是[1，4]．（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)方程思想的合理運(yùn)用．