Question

8．偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=3^x+2x²+x．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性（不用證明）；
（2）求f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）解不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，利用條件求f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0可化為不等式f（a²-3a+7）＞f（2a²-4a+5），利用函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，可得a²-3a+7＞2a²-4a+5，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）=3^xln3+4x+1＞0，
∴函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)的偶函數(shù)，
∴函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=3^x+2x²+x，
∴f（-x）=3^-x+2x²-x．
∵函數(shù)的偶函數(shù)，
∴f（x）=3^-x+2x²-x；
（3）不等式f（a²-3a+7）-f（4a-2a²-5）＞0可化為不等式f（a²-3a+7）＞f（2a²-4a+5）．
∵函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a²-3a+7＞2a²-4a+5，
∴-1＜a＜2．
∴不等式的解集為{a|-1＜a＜2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生解不等式的能力，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．