Question

15．設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B．設C（$\frac{7}{2}$p，0），AF與BC相交于點E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為2$\sqrt{2}$，則p的值為2．

Answer 1

分析 如圖所示，F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0）．|由于AB∥x軸，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．利用拋物線的定義可得x_A，代入可取y_A，再利用S_△ACE=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3p}{2}×\sqrt{2}p$，即可得出．

解答 解：如圖所示，F（$\frac{p}{2}$，0）．|CF|=3p．
∵AB∥x軸，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，
∴|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．
∴x_A+$\frac{p}{2}$=$\frac{3p}{2}$，解得x_A=p，
代入可取y_A=$\sqrt{2}$p，
∴S_△ACE=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3p}{2}×\sqrt{2}p$=2$\sqrt{2}$，
解得p=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、平行線的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．