Question

19．設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 先求出A，B的坐標(biāo)，可得AB中點坐標(biāo)為（$\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$），利用點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，可得$\frac{\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-m}$=-3，從而可求雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線的方程可知，漸近線為y=±$\frac{a}$x，
分別與x-3y+m=0（m≠0）聯(lián)立，解得A（-$\frac{am}{a-3b}$，-$\frac{bm}{a-3b}$），B（-$\frac{am}{a+3b}$，$\frac{bm}{a+3b}$），
∴AB中點坐標(biāo)為（$\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$），
∵點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，
∴$\frac{\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-m}$=-3，
∴a=2b，
∴c=$\sqrt{5}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．