Question

14．如圖，點C是圓O的直徑BE的延長線上一點，AC是圓O的切線，A是切點，∠ACB的平分線CD與AB相交于點D，與AE相交于點F．
（1）求∠ADF的值；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直徑，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．
（2）利用等邊對等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．進而得到△ACE∽△BCA，于是$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{AB}$=tan30°．

解答 解：（1）∵AC是⊙O的切線，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直徑，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{AB}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 熟練掌握圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．