Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=2，前3項(xiàng)的和為14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3ⁿ-log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)；
（2）化簡(jiǎn)b_n=3ⁿ-log₂a_n=3ⁿ-log₂2ⁿ=3ⁿ-n，再由分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=2，前3項(xiàng)的和為14，
可得a₁+a₁q+a₁q²=14，
即為2+2q+2q²=14，
解得q=2（-3舍去），
則a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=3ⁿ-log₂a_n=3ⁿ-log₂2ⁿ=3ⁿ-n，
前n項(xiàng)和S_n=（3+3²+…+3ⁿ）-（1+2+…+n）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{1}{2}$n（n+1）
=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-$\frac{1}{2}$n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．