Question

已知f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（-

1

2012

）+f（

1

2012

）；
（3）當(dāng)x∈（-a，a]（其中a∈（-1，1）且a為常數(shù)）時(shí)f（x）是否存在最小值？如果存在，求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0，求出x的范圍，可得函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可證出f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，由此可得f（-

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值等于0；
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判斷符號(hào)的方法，證出f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)．因此，當(dāng)a∈（0，1），且a為常數(shù)時(shí)，f（x）在區(qū)間（-a，a]的最小值為f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0，得-1＜x＜1，
可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）
（2）∵f（-x）=-（-x）+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
因此，f（-

1

2012

）=-f（

1

2012

），
可得f（-

1

2012

）+f（

1

2012

）=0；
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂

1-x1

1+x1

-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

且x₂-x₁＞0，

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
∴l(xiāng)og₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a為常數(shù)）時(shí)，函數(shù)有最小值為f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)符號(hào)的基本初等函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論函數(shù)在區(qū)間（-a，a]上的最小值，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．