Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=e^xsinx，x∈[0，π]，則（　�。�

• A． x=$\frac{π}{2}$為f（x）的極小值點(diǎn)
• B． x=$\frac{π}{2}$為f（x）的極大值點(diǎn)
• C． x=$\frac{3π}{4}$為f（x）的極小值點(diǎn)
• D． x=$\frac{3π}{4}$為f（x）的極大值點(diǎn)

Answer 1

分析 求導(dǎo)，利用輔助角公式整理得f′（x）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得f（x）在[0，π]單調(diào)性，由極值定義即可求得f（x）的極值．

解答 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
由f′（x）≤0，sin（x+$\frac{π}{4}$）≤0，
∴2kπ+π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π，即2kπ+$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{4}$，
∵x∈[0，π]，x∈[0，$\frac{3π}{4}$]單調(diào)遞增，x∈[$\frac{3π}{4}$，π]是單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{3π}{4}$為f（x）取極大值點(diǎn)．
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的極值，屬于中檔題．