Question

8．中心在原點、焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為F₁、F₂，且它們在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₂為底邊的等腰三角形．若|PF₂|=10，雙曲線離心率的取值范圍為（1，2），則橢圓離心率的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為e₁，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0，離心率為e₂，|F₁F₂|=2c，由e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₂為底邊的等腰三角形，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可求得a=c+5，m=c-5，由不等式的解法，從而可求得答案．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為e₁，
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P，
△PF₁F₂是以PF₂為底邊的等腰三角形，|PF₂|=10，
∴在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2a-2c；①
同理，在該雙曲線中，|PF₂|=-2m+2c；②
由①②可得m=c-5，a=c+5．
∵e₂=$\frac{c}{m}$∈（1，2），即1＜$\frac{c}{c-5}$＜2，
∴c＞10，
又e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{c+5}$=1-$\frac{5}{c+5}$，0＜$\frac{5}{c+5}$＜$\frac{1}{3}$
由c＞10，可得0＜$\frac{5}{c+5}$＜$\frac{1}{3}$，
即有$\frac{2}{3}$＜e₁＜1．
故答案為：（$\frac{2}{3}$，1）．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)：離心率的范圍，考查等價轉(zhuǎn)換的思想與運算能力，考查不等式的解法，屬于中檔題．