Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（m，2），$\overrightarrow{c}$=（3，4），且（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 由已知首先求出$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$的坐標(biāo)，然后利用向量的數(shù)量積公式關(guān)于m的方程，解之；然后利用數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（m，2），$\overrightarrow{c}$=（3，4），
∴$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$=（1，3）-（3m，6）=（1-3m，-3）．（2分）
∵（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．
∴（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$．=（1-3m，-3）•（3，4）=3（1-3m）+（-3）×4=-9m-9=0（5分）
解得m=-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（-1，2），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=5，（7分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．（10分）
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{π}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直的性質(zhì)運(yùn)用；屬于基礎(chǔ)題．