Question

18．如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現(xiàn)要從中截去一個內(nèi)接等腰梯形部件ABCD，設梯形ABCD的面積為y平方米．
（1）設∠BOC=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關系式；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，因為∠BOC=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），OC=1，從而寫出OE=cosθ，CE=sinθ，從而可得y=$\frac{1}{2}$（AB+CD）CE=$\frac{1}{2}$（2+2cosθ）sinθ=（1+cosθ）sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）求導y′=（sinθ+sinθcosθ）′=2cos²θ+cosθ-1，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值．

解答 解：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，因為∠BOC=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），OC=1，
所以OE=cosθ，CE=sinθ，
所以y=$\frac{1}{2}$（AB+CD）CE=$\frac{1}{2}$（2+2cosθ）sinθ=（1+cosθ）sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）y′=（sinθ+sinθcosθ）′=2cos²θ+cosθ-1，
令y′=0得cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，cosθ=-1（舍），
所以當0＜θ＜$\frac{π}{3}$時，y′＞0，所以函數(shù)在（0，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞增，
當$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時，y′＜0，所以函數(shù)在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減；
所以當θ=$\frac{π}{3}$時，y_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
答：梯形部件ABCD面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$平方米．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)在實際問題中的應用，同時考查了三角函數(shù)的化簡與應用，屬于中檔題．