【題目】已知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),其反函數(shù)是.
(1)若,求并寫出定義域;
(2)對于⑴的和,設(shè)任意,,,求證:;
(3)已知函數(shù)和的圖象有交點,求證:它們的交點一定在直線上.
【答案】(1),;(2)證明見詳解;(3)證明見詳解.
【解析】
(1)根據(jù)反函數(shù)的求解過程,即可求得,再求原函數(shù)值域,即為反函數(shù)的定義域;
(2)根據(jù)(1)中所求,用分析法將不等式進行不斷轉(zhuǎn)換,即可證明;
(3)根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的特點,以及函數(shù)單調(diào)性,即可證明.
(1)因為,故可得,又因為
故,故;
又因為在時,單調(diào)遞增,故其值域為
故的定義域為;
綜上所述:,.
(2)由(1)可知,
要證
即證
也就是證
因為,故,則,同理可得
故成立,
則原不等式成立,即證.
(3)證明:設(shè)是函數(shù)與的交點,
故可得
故可得
即過點和
又因為是單調(diào)第增函數(shù),
故當(dāng)時,,即,這與題設(shè)矛盾;
當(dāng)時,,即,這也與題設(shè)矛盾;
當(dāng)時,,即,滿足題意.
綜上所述,若與有交點,則交點一定在直線上,即證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,及根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格c=a+x(b﹣a),這里,x被稱為樂觀系數(shù).
經(jīng)驗表明,最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中項,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求的取值范圍.
(2)若存在,使得關(guān)于的方程有三個不相同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸,軸分別相交于點B、C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線與軸的另一交點為A,頂點為P,且對稱軸為直線.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)連結(jié)AC.請問在軸上是否存在點Q,使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC 相似,若存在,請求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知曲線的極坐標(biāo)方程為 ,直線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).
(I)分別求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線 的普通方程;
(II)設(shè)曲線和直線相交于兩點,求弦長的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”,三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū),沿著AB、AE處擺放折線形書架(書架寬度不計),四邊形區(qū)域為BCDE為閱讀區(qū),若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CD=m.
(1)求兩區(qū)域邊界BE的長度;
(2)若區(qū)域ABE為銳角三角形,求書架總長度AB+AE的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知對某校的100名學(xué)生進行不記名問卷調(diào)查,內(nèi)容為一周的課外閱讀時長和性別等進行統(tǒng)計,如表:
(1)課外閱讀時長在20以下的女生按分層抽樣的方式隨機抽取7人,再從7人中隨機抽取2人,求這2人課外閱讀時長不低于15的概率;
(2)將課外閱讀時長為25以上的學(xué)生視為“閱讀愛好”者,25以下的學(xué)生視為“非閱讀愛好”者,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表:
非閱讀愛好者 | 閱讀愛好者 | 總計 | |
女生 | |||
男生 | |||
總計 |
能否在犯錯概率不超過0.01的前提下,認為學(xué)生的“閱讀愛好”與性別有關(guān)系?
附:,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似的表示為,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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