Question

4．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：
①B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面； 
②直線BF與AE異面；
③直線EF∥平面PBC； 
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折線B→E→F→C是從B點(diǎn)出發(fā)，繞過三角形PAD面，到達(dá)點(diǎn)C的一條最短路徑．
其中正確的有①②③．（請寫出所有符合條件的序號）

Answer 1

分析 首先可根據(jù)幾何體的平面展開圖畫出其直觀圖，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，異面直線的概念，線面平行的判定定理，二面角的平面角的定義及求法，即可判斷每個(gè)結(jié)論的正誤，而對于結(jié)論⑤，可畫出該幾何體沿底面正方形的邊，及側(cè)棱PD剪開后所得的平面展開圖，由該展開圖即可求出從B點(diǎn)出發(fā)，繞過平面PAD，到達(dá)點(diǎn)C的最短距離，從而判斷出該結(jié)論的正誤．

解答 解：根據(jù)幾何體的平面展開圖，畫出它的直觀圖如下：
①根據(jù)已知，EF∥AD∥BC；
∴EF∥BC；
∴B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面；
∴該結(jié)論正確；
②由圖可看出BF和AE異面；
∴該結(jié)論正確；
③由①EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC；
∴EF∥平面PBC；
∴該結(jié)論正確；
④分別取AD，EF，BC的中點(diǎn)G，H，M，并連接GH，HM，MG，則GH⊥EF，HM⊥EF；
而EF是平面BCE和平面PAD的交線；
∴∠GHM為平面BCE與平面PAD形成的二面角的平面角；
若設(shè)該幾何體的側(cè)棱長為2，則：
GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，MG=2；
顯然GH²+HM²≠M(fèi)G²；
∴∠GHM≠90°；
∴平面BCE與平面PAD不垂直；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
⑤把該正四棱錐沿底面各邊及側(cè)棱PD剪開，得到的展開圖如下：

BH⊥PA，∴B到側(cè)棱PA的最短距離為BE，BE=$\sqrt{3}$；
過E作EN⊥PD，則EN是點(diǎn)E到PD的最短距離，且EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NP=$\frac{1}{4}$；
而N到C的最短距離便是線段NC的長，NC=$\frac{9}{4}$；
∴從B點(diǎn)出發(fā)，繞過PAD面到達(dá)C點(diǎn)的最短距離為$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{4}$；
而BE+EF+FC=$2\sqrt{3}+1$；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
綜上得正確的結(jié)論為①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 考查中位線的性質(zhì)，兩平行直線可確定一個(gè)平面，能根據(jù)幾何體的平面展開圖畫出它的直觀圖，線面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，將立體圖形轉(zhuǎn)變成平面圖形解題的方法．