Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$）與橢圓C相較于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作?OAPB，其中定點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{a=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．由于四邊形OAPB是平行四邊形，利用$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，可得x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得P（x₀，y₀），代入橢圓方程可得m²=$\frac{1+3{k}^{2}}{2}$．由于|OP|²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=6-$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，利用|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{a=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，b²=2，a²=6．∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∵四邊形OAPB是平行四邊形，∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴y₀=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+3{k}^{2}}$，x₀=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，
把P（x₀，y₀）代入橢圓方程可得：$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}$+3$（\frac{2m}{1+3{k}^{2}}）^{2}$=6，
化為m²=$\frac{1+3{k}^{2}}{2}$．
|OP|²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}$+$（\frac{2m}{1+3{k}^{2}}）^{2}$=$\frac{（36{k}^{2}+4）{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{18{k}^{2}+2}{1+3{k}^{2}}$=6-$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，
∵|k|≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${0≤k}^{2}≤\frac{1}{3}$，
∴2≤|OP|²≤4，
∴$\sqrt{2}$≤|OP|≤2．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．