Question

15．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A=（$\sqrt{3}$，-1），B=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），O為原點(diǎn)．
（1）證明OA⊥OB；
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OB}$，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、t，使得$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）欲證明OA⊥OB，只需證得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可；
（2）由題意可得 $\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，即[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）]（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）=0．再由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1可得-4k+t（t²-3）=0，化簡(jiǎn)可得函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．

解答 （1）證明：因?yàn)?\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{3}$，-1）•（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+（-1）×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=0，
所以0A⊥0B；
（2）解：由已知，得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（-1）}^2}}$=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}$=1，
由于$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，所以$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
即[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）]（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）=0．
所以-ka²+ta•b-k（t²-3）b•a+t （t²-3）b²=0．
由a•b=0，所以-4k+t（t²-3）=0．
所以k=$\frac{1}{4}$t（t²-3）．
由已知k、t不同時(shí)為零，得f（t）=$\frac{1}{4}$t（t²-3）（t≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，高次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．