在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足a2+b2-c2=ab,若△ABC的周長為3,則△ABC的面積最大值為
 
考點:余弦定理
專題:計算題,解三角形
分析:由余弦定理和已知可得C=
π
3
,由a+b+c=3,即c=3-(a+b),又由余弦定理得9-6(a+b)+(a+b)2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,整理可得即3ab+9=6(a+b),
而 a+b≥2
ab
,當且僅當a=b時取等號,從而可解得:
ab
≥3或
ab
≤1,從而可求得△ABC的面積S=
1
2
absinC
1
2
×
3
2
×1
=
3
4
解答: 解:∵△ABC中,a2+b2-c2=ab,
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
,
∴C=
π
3

∵a+b+c=3,即c=3-(a+b),
∴由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即9-6(a+b)+(a+b)2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
∴即3ab+9=6(a+b),
而 a+b≥2
ab
,當且僅當a=b時取等號,
即3ab+9≥12
ab
,
即ab-4
ab
+3≥0,
可解得:
ab
≥3或
ab
≤1,
∴△ABC的面積S=
1
2
absinC
1
2
×
3
2
×1
=
3
4
,
故答案為:
3
4
點評:本題主要考察了余弦定理的應用,不等式的解法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某數(shù)列第一項為1,并且對所有n≥2,n∈N*,數(shù)列的前n項之積n2,則當n≥2時,有(  )
A、an=2n-1
B、an=n2
C、an=
n2
(n-1)2
D、an=
(n+1)2
n2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,定義點P(x1,y1)、Q(x2,y2)之間的直角距離為d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|若點A(x,1),B(1,4),C(2,5),且d(A,B)≥d(A,C),則x的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點,點P在該平面內(nèi)且有,
PA
+2
PB
+3
PC
=
0
現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi),則這粒黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某電視廠家有A,B兩種型號的電視機參加家電下鄉(xiāng)活動.若廠家投放A,B型號電視機的價值分別為p,q萬元.農(nóng)民購買電視機獲得相應的補貼分別為
1
10
p,mln(q+1)(m>0)萬元.若廠家把總價值為10萬元的A,B兩型號電視機投放市場,且A,B兩型號的電視機投放金額都不低于1萬元.
(1)當m=
2
5
時,請你制定一個投放方案,使得在這次活動中農(nóng)民得到的補貼最多,并求出其最大值;(精確到0.1,參考數(shù)據(jù),ln4=1.4)
(2)當m∈(
1
5
,1)時,試討論農(nóng)民得到的補貼隨廠家投放B型號電視機金額的變化而變化的情況.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2
2
,C=
π
4
,a>b,且有tanA•tanB=6,則a=
 
,b=
 
,S△ABC=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
mx
4x-3
 (x≠
3
4
)在定義域內(nèi)恒有f[f(x)]=x,則m=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1).
(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明;
(2)試判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若復數(shù)z滿足z+i=
i-3
i
,則|z|=
 

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