Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=2

2

，C=

π

4

，a＞b，且有tanA•tanB=6，則a=

 

，b=

 

，S_△ABC=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：由已知可解得：tanA=3或2（舍去），tanB=2，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sinA，sinB的值，由正弦定理可解得a，b，S_△ABC的值．

解答： 解：∵在△ABC中，a＞b，且有tanA•tanB=6，C=

π

4

，
∴A，B均為銳角．B=

3π

4

-A，
∵tanA•tanB=tanA•tan（

3π

4

-A）=tanA•

tan 3π 4 -tanA

1+tan 3π 4 tanA

=tanA•

1+tanA

tanA-1

=6，整理后可解得：tanA=3或2（舍去），tanB=2．
∵tanA=

sinA

cosA

=

sinA

1-sin2A

=3，tanB=

sinB

1-sin2B

=2∴可解得sinA=

3 10

10

，sinB=

2 5

5

，
∴由正弦定理知：

2 2

2 2

=

a

3 10 10

=

b

2 5 5

，從而解得：a=

6 10

5

，b=

8 5

5

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

6 10

5

×

8 5

5

×

2

2

=

24

5

，
故答案為：

6 10

5

，

8 5

5

，

24

5

．

點評：本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，正弦定理的應用，屬于基本知識的考查．