Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較即可判斷其偶性；
（2）對(duì)a討論，分a＞1，0＜a＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，在R上，y=a^x遞增，y=a^-x遞減，
則f（x）=a^x-a^-x在R上遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在R上，y=a^x遞減，y=a^-x遞增，
則f（x）=a^x-a^-x在R上遞減．
綜上，a＞1時(shí)f（x）為R上的增函數(shù)；0＜a＜1時(shí)，f（x）為R上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．