Question

如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求證：AC∥平面BEF；
（2）求四面體BDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設正方形ABCD的中心為O，取BE中點G，連接FG，OG，由中位線定理，我們易得四邊形AFGO是平行四邊形，即FG∥OA，由直線與平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我們可以得到AB⊥平面ADEF，結合DE=DA=2AF=2．分別計算棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式即可求出四面體BDEF的體積．
解答：證明：（1）設AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=DE．
因為AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥OA．
因為FG?平面BEF，AO?平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
解：（2）因為平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因為AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面積為S_△DEF=×ED×AD=2，
所以四面體BDEF的體積V=•S_△DEF×AB=（12分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定及棱錐的體積，（1）的關鍵是證明出FG∥OA，（2）的關鍵是得到AB⊥平面ADEF，即四面體BDEF的高為AB．