Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（b-2）x+3，且-1，3是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）解析式，并解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）若g（x）=f（sinx），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）∵-1，3是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-（b-2）+=0}\\{9a+3（b-2）+3=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=4，
故f（x）=-x²+2x+3，
由f（x）≤3，解得：x≥2或x≤0，
故不等式的解集是：{x|x≤0或x≥2}；
（Ⅱ）g（x）=f（sinx）=-（sinx）²+2sinx+3=-（sinx-1）²+4，
故sinx=-1時(shí)，g（x）最小為0，sinx=1時(shí)，g（x）最大，最大值是4，
故函數(shù)g（x）的值域是[0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題以及解不等式問(wèn)題，是一道中檔題．