數(shù)列、的每一項都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、成等比數(shù)列,.
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求數(shù)列、的通項公式;
(Ⅲ)記,證明:對一切正整數(shù),有.
(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)答案詳見解析.

試題分析:(Ⅰ)依題意,,,并結(jié)合已知,利用賦值法可求、的值;(Ⅱ)由①,②,且,則),代入①中,得關(guān)于的遞推公式,故可判斷數(shù)列是等差數(shù)列,從而可求出,代入)中,求出),再檢驗時,是否滿足,從而求出;(Ⅲ)和式表示數(shù)列的前項和,故先求通項公式,再選擇相應(yīng)的求和方法求和,再證明和小于.
試題解析:(Ⅰ)由,可得.由,可得.
(Ⅱ)因為、、成等差數(shù)列,所以…①.因為、、成等比數(shù)列,所以,因為數(shù)列、的每一項都是正數(shù),所以…②.于是當…③.  將②、③代入①式,可得,因此數(shù)列是首項為4,公差為2的等差數(shù)列,
所以,于是.   則.
時,,滿足該式子,所以對一切正整數(shù),都有.
(Ⅲ)方法一:,所以.
于是
.
方法二:.
于是
.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知等比數(shù)列中,,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項,試求數(shù)列的通項公式及前項和

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),其前n項的和為,對于任意正整數(shù)m,n, 恒成立.
(Ⅰ)若=1,求及數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

若無窮數(shù)列滿足:①對任意,;②存在常數(shù),對任意,,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的通項為,證明:數(shù)列為“數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:對任意,;
(Ⅲ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:存在,數(shù)列為等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列的前項和滿足
(Ⅰ)證明為等比數(shù)列,并求的通項公式;
(Ⅱ)設(shè);求數(shù)列的前項和.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列為等差數(shù)列,若,則(      )
A.36B.42C.45D.63

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在等差數(shù)列中,,,記數(shù)列的前項和為
(Ⅰ)數(shù)列的通項            ;
(Ⅱ)若恒成立,則正整數(shù)的最小值為        

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在等差數(shù)列中,已知,則該數(shù)列前11項的和等于
A.58B.88C.143D.176

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