Question

19．已知（$\root{4}{x}$+$\sqrt{{x}^{3}}$）ⁿ展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45．求：
（1）含x⁵的項(xiàng)；
（2）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由題意知${C}_{n}^{n-2}$=45，求得 n=10，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求得k的值，可得含x³的項(xiàng)．
（2）本題即求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式求得結(jié)果．

解答 解：（1）由題意知${C}_{n}^{n-2}$=45，∴n=10，T_k+1=${C}_{10}^{k}$•${x}^{\frac{10+5k}{4}}$，令$\frac{10+5k}{4}$=5，得k=2．
所以含x⁵的項(xiàng)為 T₃=${C}_{10}^{2}$•x⁵=45x⁵．
（2）系數(shù)最大的項(xiàng)，即二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，即T₆=${C}_{10}^{5}$•${x}^{\frac{35}{4}}$=252•${x}^{\frac{35}{4}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．