Question

已知z是虛數，z+

4

z

是實數．
（1）求z對應復平面內動點A的軌跡；
（2）設u=3iz+1，求u對應復平面內動點B的軌跡；
（3）設v=

1

z

+z，求v對應復平面內動點C的軌跡．

Answer 1

分析：（1）由z∈R的性質可知，z=

.

z

，利用此知識，可得z+

4

z

∈R?z+

4

z

=

.

z+ 4 z

?

(z- . z )(z . z -4)

|z|2

=0，
因為z

.

z

=|z|2，可求得|z|²=4，即|z|=2．也可直接將設z=x+yi（x、y∈R）求解．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz，兩邊取�？傻媒Y論．
（3）因為z對應復平面內動點A的軌跡是中心在原點，半徑等于2的圓，故可設z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π），化簡整理即可．

解答：解：（1）z+

4

z

∈R?z+

4

z

=

.

z+ 4 z

?

(z- . z )(z . z -4)

|z|2

=0，因為z是虛數，所以z-

.

z

≠0，于是|z|²=4，即|z|=2，且z≠±2，因此動點A軌跡是中心在原點，半徑等于2的圓，但去掉兩個點（2，0）與（-2，0）．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz．由（1）及題設知|z|=2，z≠±2，所以
|u-1|=6，且u-1≠±6i
因此動點B的軌跡是圓，中心在（1，0），半徑等于6，但去掉兩點（1，6）與（1，-6）
（3）設z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π）則v=2（cosθ+isinθ）+

1

2(cosθ+isinθ)

=

5

2

cosθ+

3

2

isinθ
再令v=x+yi（x，y∈R），則

x= 5 2 cosθ y= 3 2 sinθ

，消去θ得

4x2

25

+

4y2

9

=1，其中x∈(-

5

2

，

5

2

)
所以動點C的軌跡是中心在原點，長軸在x軸上的橢圓，a=

5

2

，b=

3

2

，去掉兩點(-

5

2

，0)．(

5

2

，0)

點評：本題考查復數的運算、復數的集合意義，綜合性較強，難度稍大．