Question

已知函數(shù)y=log_a（a²x）•loga2（ax），當(dāng)x∈[2，4]時，y的取值范圍是[-

1

8

，0]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：y=log_a（a²x）•loga2（ax）=1+

3

2

log_ax+

1

2

（log_ax）²，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，能求出實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：y=log_a（a²x）•loga2（ax）
=（2+log_ax）•（

1

2

+loga2x）
=1+

1

2

logax+2loga2x+logax•loga2x
=1+

3

2

log_ax+

1

2

（log_ax）²，
設(shè)t=log_ax，則y=

1

2

t2+

3

2

t+1，
這個二次函數(shù)是頂點(diǎn)為（-

3

2

，-

1

8

），對稱軸為t=-

3

2

，開口向上的拋物線，
當(dāng)-

1

8

≤y≤0時，解得-2≤t≤-1，
當(dāng)y=0時，解得t₁=-1，t₂=-2，
x∈[2，4]時，y的取值范圍是[-

1

8

，0]，
①t=log_ax=-1，x=2，則a=

1

2

，
當(dāng)t=log_a4=-2時，y=0，符合題意；
②t=log_ax=-1，x=4，則a=

1

4

，
當(dāng)t=log_a2=-

1

2

時，y＞0，不符合題意；
③t=log_ax=-2，x=2，則a=

1

2

，
當(dāng)t=log_a4=-4時，y＞0，不符合題意；
④t=log_ax=-2，x=4，則a=

1

2

，
當(dāng)t=log_a2=-1時，y=0，符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)a的值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．