Question

9．如圖，平面α∥平面β，過(guò)點(diǎn)P的兩條斜線分別交平面α、β于A、C及B、D．點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影0點(diǎn)在線段AB上，且PA=8，AB=5，PB=7，CD=20．求：
（1）斜線PC與平面β所成角的大�。�
（2）平面α與平面β間的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠PCD就是斜線PC與平面β所成角的大小，且∠PCD=∠PAB，利用余弦定理能求出斜線PC與平面β所成角的大�。�
（2）點(diǎn)P在平面β內(nèi)的射影H點(diǎn)在線段CD上，先求出PO=PA•sin60°=4$\sqrt{3}$，再推導(dǎo)出△POA∽△PHC，由此能求出平面α與平面β間的距離．

解答 解：（1）∵平面α∥平面β，過(guò)點(diǎn)P的兩條斜線分別交平面α、β于A、C及B、D，
點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影O點(diǎn)在線段AB上，
∴∠PCD就是斜線PC與平面β所成角的大小，且∠PCD=∠PAB，
∵PA=8，AB=5，PB=7，
∴cos∠PCD=cos∠PAB=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$=$\frac{64+25-49}{2×8×5}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PCD=60°，
∴斜線PC與平面β所成角的大小為60°．
（2）點(diǎn)P在平面β內(nèi)的射影H點(diǎn)在線段CD上，
PA=8，AB=5，PB=7，CD=20，∠PCD=∠PAB=60°，
∴PO=PA•sin60°=4$\sqrt{3}$，
∵∠PCD=∠PAB=60°，∠PHC=∠POA=90°，
∴△POA∽△PHC，∴$\frac{PO}{PH}=\frac{AO}{CH}=\frac{AB}{CD}$，
∴PH=$\frac{PO•CD}{AB}$=$\frac{4\sqrt{3}×20}{5}$=16$\sqrt{3}$，
∴平面α與平面β間的距離OH=PH-PO=16$\sqrt{3}-4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，考查兩平面間的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．