Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得對任意的$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$，都有函數(shù)$y=f（x）+\frac{m}{x}$的圖象在$g（x）=\frac{e^x}{x}$的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)m的值；若不存在，請說理由．
（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931，ln3=1.0986，$\sqrt{e}=1.6487，\root{3}{e}=1.3956$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）假設存在實數(shù)m滿足題意，則不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$對$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．即m＜e^x-xlnx對$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．令h（x）=e^x-xlnx，求出導數(shù)，令φ（x）=e^x-lnx-1，求出導數(shù)，運用函數(shù)存在定理，結合基本不等式可得最值，進而得到m的范圍和最大整數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=lnx的導數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}$，
所以f′（1）=1，則所求切線的斜率為1，
又f（1）=ln1=0，
故所求切線的方程為y=x-1；
（Ⅱ）假設存在實數(shù)m滿足題意，
則不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$對$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．
即m＜e^x-xlnx對$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．
令h（x）=e^x-xlnx，則h'（x）=e^x-lnx-1，
令φ（x）=e^x-lnx-1，則$φ'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
因為φ'（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調遞增，
$φ'（\frac{1}{2}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0$，φ'（1）=e-1＞0，
且φ'（x）的圖象在$（\frac{1}{2}，1）$上連續(xù)，
所以存在${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得φ'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，
則x₀=-lnx₀，
所以當x∈（$\frac{1}{2}$，x₀）時，φ（x）單調遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，φ（x）單調遞增，
則φ（x）取到最小值φ（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-1=x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1≥2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{{x}_{0}}}$-1=1＞0，
所以h′（x）＞0，即h（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）內單調遞增．
所以m≤h（$\frac{1}{2}$）=e${\;}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=e${\;}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$ln2=1.99525，
所以存在實數(shù)m滿足題意，且最大整數(shù)m的值為1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查任意性和存在性問題的解法，注意運用轉化思想和構造函數(shù)法，求出導數(shù)判斷單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．